Stoqastikˆ montèla gia ta epitìkia. Oikonomikì Panepist mio Ajhn n

Σχετικά έγγραφα
{F W t } 0 t T = σ(w k (s), s t, 1 k) L 2 ([0, T ])

(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i)

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 4: Υποδείγματα πιστωτικού κινδύνου. The Merton's Structural Model

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets. Μιχάλης Ανθρωπέλος

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!

Πεπερασμένες διαφορές

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Προκαταρκτικά. Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Ενα Νέο Κλασσικό Υπόδειγμα Χωρίς Κεφάλαιο. Μακροοικονομικές Διακυμάνσεις και Νομισματικοί Παράγοντες

Vol. 34 ( 2014 ) No. 4. J. of Math. (PRC) : A : (2014) XJ130246).

Βιομαθηματικά BIO-156. Ντίνα Λύκα. Εισαγωγή. Εαρινό Εξάμηνο, 2018

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

Τιμολόγηση και Αντιστάθμιση Κινδύνου Σύνθετων Προϊόντων Ασφαλειών Ζωής σε Στοχαστικό Περιβάλλον

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Τηλ./Fax: ,

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

Διάφορες αποδόσεις και Αποτίμηση Ομολόγων

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

Βιομαθηματικά BIO-156. Ντίνα Λύκα. Εισαγωγικές έννοιες. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 4

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 1: Εκτιμώντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές της αγοράς

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

J. of Math. (PRC) Banach, , X = N(T ) R(T + ), Y = R(T ) N(T + ). Vol. 37 ( 2017 ) No. 5

Παράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n

Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Decision making under model uncertainty: Hamilton-Jacobi-Belman-Isaacs approach, weak solutions and applications in Economics and Finance

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

Το φασματικό Θεώρημα

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Credit Risk Διάλεξη 1

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Συντελεστές και σειρές Fourier

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Το φασματικό Θεώρημα

: Ω F F 0 t T P F 0 t T F 0 P Q. Merton 1974 XT T X T XT. T t. V t t X d T = XT [V t/t ]. τ 0 < τ < X d T = XT I {V τ T } δt XT I {V τ<t } I A

Στοχαστικές Ανελίξεις (1) Αγγελική Αλεξίου

Διαφορικές Εξισώσεις.

Μεικτά Μαρκοβιανά Μοντέλα σε διαδικασίες μετανάστευσης στις βαθμίδες αξιολόγησης πιστοληπτικής ικανότητας

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2

Μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων σε Χώρους Sobolev

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

MAJHMATIKH QRHMATOOIKONOMIA I

Τεχνική Έκθεση Συνοπτική παρουσίαση... 3

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H ( Ω ). Αυτό επιβάλλει τη χρήση C πεπερασμένων. C ( Ω )). Άλλες προσεγγίσεις που αποφεύγουν τη χρήση C πεπερασμένων

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός

Διαφορικές Εξισώσεις.

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων. εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά σε διατάσεις...

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

DOI /J. 1SSN

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript:

Stoqastikˆ montèla gia ta epitìkia Ν. Ε. Φράγκος Α. Ν. Γιαννακόπουλος Ε. Α. Καλπινέλλη Oikonomikì Panepist mio Ajhn n 17 Ιουλίου 2010

To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure).

To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων.

To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α.

To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton: Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α. μπορεί να είναι απειροδιάστατο, ενώ δεν ικανοποιεί πάντα την ιδιότητα Markov.

To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton P(t, T ) = η τιμή ενός ομολόγου χωρίς τόκους (zero-coupon bond) τη χρονική στιγμή t με χρόνο λήξης T = x + t και ονομαστική τιμή 1 νομισματική μονάδα. Υποθέσεις P(T, T ) = 1 P(t, T ) διαφορίσιμη συνάρτηση στο T.

To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton P(t, T ) = η τιμή ενός ομολόγου χωρίς τόκους (zero-coupon bond) τη χρονική στιγμή t με χρόνο λήξης T = x + t και ονομαστική τιμή 1 νομισματική μονάδα. Υποθέσεις P(T, T ) = 1 P(t, T ) διαφορίσιμη συνάρτηση στο T. Προθεσμιακό Επιτόκιο (Forward Rate) Το προθεσμιακό επιτόκιο (forward rate) τη χρονική στιγμή t T δίνεται από τη σχέση u(t, T ) = 1 P(t, T ) log P(t, T ) =. P(t, T ) T T

To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton W = (Ω, F, {F t ) 0 t T }, P) : Χώρος πιθανοτήτων, εφοδιασμένος με τη διήθηση (F t ) 0 t T που παράγεται από την κίνηση Brown W = {w k = w k (t), k 1, t [0, T ]} Heath-Jarrow-Morton (1992) Για κάθε T > 0, η λύση της εξίσωσης T ( d ) u(t, T ) = u(0, T ) + dx u(s, T ) + f (s, T ) ds + 0 T όπου f ( ) είναι η ταχύτητα και σ( ) η διακύμανση, είναι μία διαδικασία Itô. 0 σ(s, T )dw (s)

To majhmatikì upìdeigma twn Heath Jarrow Morton W = (Ω, F, {F t ) 0 t T }, P) : Χώρος πιθανοτήτων, εφοδιασμένος με τη διήθηση (F t ) 0 t T που παράγεται από την κίνηση Brown W = {w k = w k (t), k 1, t [0, T ]} Heath-Jarrow-Morton (1992) Για κάθε T > 0, η λύση της εξίσωσης T ( d ) u(t, T ) = u(0, T ) + dx u(s, T ) + f (s, T ) ds + 0 T όπου f ( ) είναι η ταχύτητα και σ( ) η διακύμανση, είναι μία διαδικασία Itô. Συνθήκη απουσίας arbitrage (Delbaen-Schachermayer 1994) 0 σ(s, T )dw (s) Προϋπόθεση η ύπαρξη ισοδύναμου μέτρου Martingale. T f (t, T ) = σ(t, T ) σ(t, s)ds t [0, T ]. t

To upìdeigma twn Heath Jarrow Morton san stoqastik diaforik exðswsh Εστω S(t) η ημιομάδα τελεστών μετατόπισης προς τα δεξιά S(t)f (x) = f (t + x). Η εξίσωση των Heath-Jarrow-Morton γράφεται ισοδύναμα ως t u(t, t + x) = S(t) u(0, x) + S(t x) f (s, s + x)ds 0 t + S(t x) σ(s, s + x)dw (t) 0 Θέτοντας u(t) = u(t, ), η διαδικασία u(t) ικανοποιεί την στοχαστική εξίσωση ( du(t) ) du(t) = + f (t) dt + σ(t)dw (t) dx με αρχική συνθήκη u(0) = u 0.

To anˆptugma se Wiener chaos - Genikì PlaÐsio m = {m k, k 1} Ορθοκανονική βάση του L 2 ([0, T ]) ξ ik = T 0 m i(s)dw k (s) Ανεξάρτητες κανονικά κατανεμημένες τυχαίες { μεταβλητές } J = Ξ = α = (αi k, i, k 1) : αk i {0, 1, 2,... }, i,k αk i < { ξ α = 1 } α! i,k H α (ξ k i ik ) όπου H n (t) = ( 1) n e x 2 /2 d n dx e x 2 /2 n είναι το πολυώνυμο Hermite τάξης n. W (t) = k 1 w k(t)e k, όπου {e k, k 1} είναι η βάση του χώρου που παίρνουν τιμές οι παράμετροι της διαδικασίας. Λήμμα Αν ξ α (t) = E(ξ α F W t ) τότε dξ α = i,k α k i ξ α (i,k)m i (t)dw k (t) όπου { ( ) l α (i, k) = max(αi k 1) j α l j αν i = j και k = l αλλιώς

Je rhma Cameron - Martin Cameron - Martin (1947) Η συλλογή {ξ α, α J } είναι μία ορθοκανονική βάση του L 2 (Ω, F W T, P). Για u L 2 (Ω, F W T, P) και u α = E[uξ α ], u = α J u α ξ α και E[u] 2 = α J u 2 α. Ορισμός Ο Wiener χώρος με βάρος RL 2 (W; X ) ορίζεται ως { RL 2 (W; X ) := u : u 2 RL 2 (W;X ) = } rα 2 u α 2 X < α J όπου X χώρος Banach και r α J θετικοί αριθμοί.

To anˆptugma se Wiener Chaos Οι Wiener Chaos λύσεις μίας στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης ανήκουν στην κατηγορία των μεταβολικών (variational) λύσεων και κατασκευάζονται σαν ανάπτυγμα σε σειρά Fourier πάνω στη βάση Cameron - Martin Ξ = {ξ α, α J } του χώρου.

To anˆptugma se Wiener Chaos Οι Wiener Chaos λύσεις μίας στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης ανήκουν στην κατηγορία των μεταβολικών (variational) λύσεων και κατασκευάζονται σαν ανάπτυγμα σε σειρά Fourier πάνω στη βάση Cameron - Martin Ξ = {ξ α, α J } του χώρου. Οι συντελεστές της σειράς Fourier υπολογίζονται λύνοντας ένα απειροδιάστατο (κάτω τριγωνικό) σύστημα ντετερμινιστικών εξισώσεων, γνωστό και ως Διαδότης (Propagator) που ορίζεται μονοσήμαντα από τη σχέση t ( ) u α (t) = u (0,α) + Au + f α (s)ds 0 t + 0 i,k για κάθε t [0, T ] και α J. α k i (M ku + g k ) α (i,k)(s)m i (s)ds,

To anˆptugma se Wiener Chaos - Je rhma IsodunamÐac Χώροι Hilbert (Gelfand triple): V H V Φραγμένοι τελεστές : A = A(t) : V V, M k = M k (t) : V V Θεώρημα Ισοδυναμίας Το τυχαίο πεδίο (random element) u RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )), όπου u = α J u αξ α ικανοποιεί τη στοχαστική διαφορική εξίσωση αν και μόνον αν 1. u α C([0, T ]; H) t ( ) u(t) = u(0) + A(s)u(s) + f (s, x) ds 0 t ( + Mk u(s) + g k (s) ) dw k (s) 0 k 1 2. ο διαδότης (propagator) έχει λύση στον V.

Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων.

Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου Wiener chaos στο παραβολικό πρόβλημα και προσδιορισμός των παραβολικών διαδοτών (propagators) που εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης του υπερβολικού προβλήματος.

Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου Wiener chaos στο παραβολικό πρόβλημα και προσδιορισμός των παραβολικών διαδοτών (propagators) που εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης του υπερβολικού προβλήματος. Εφαρμογή του Θεωρήματος Ισοδυναμίας για την κατασκευή της λύσης του υπερβολικού προβλήματος.

Wiener Chaos lôseic uperbolik n stoqastik n diaforik n exis sewn mèsw thc mejìdou vanishing viscosity Θεώρημα - Υπαρξη και μοναδικότητα λύσεων Εστω u 0 RL 2 (W; L 2 ((0, T ); H)) και f, g k RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )) για κατάλληλο Wiener χώρο με βάρος. Τότε υπάρχει μοναδική μεταβολική (variational) λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης u RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )). Η λύση μπορεί να γραφεί ως u = α J u αξ α, όπου η u α ικανοποιεί το ντετερμινιστικό σύστημα διαδοτών (propagator). Η επιλογή των βαρών υπαγορεύεται αποκλειστικά από τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος.

Wiener q roi me bˆroc L 2,Q. Q = q 1, q 2,... : ακολουθία θετικών αριθμών q α = i,k 1 qαk i k Ορισμός : συνάρτηση βαρών Ο Wiener χώρος με βάρος L 2,Q (W; X ) ορίζεται ως { L 2,Q (W; X ) := u : u 2 L (2,Q) (W;X ) = } q 2α u α 2 X < α J όπου X χώρος Banach. Η επιλογή της ακολουθίας Q καθορίζει τη συμπεριφορά των στοιχείων του χώρου L 2,Q.

LÔseic apeðrwc diaforðsimec katˆ Malliavin Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων βαρών Q = 1 L 2,Q (W; X ) = L 2 (W; X ) Q < Q L 2,Q (W; X ) L 2, Q (W; X )

LÔseic apeðrwc diaforðsimec katˆ Malliavin Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων βαρών Q = 1 L 2,Q (W; X ) = L 2 (W; X ) Q < Q L 2,Q (W; X ) L 2, Q (W; X ) Θεώρημα - Λύσεις απείρως διαφορίσιμες κατά Malliavin Εστω u 0 L 2,Q (W; L 2 ((0, T ); H)) και f, g k L 2,Q (W; L 2 ((0, T ); V )), όπου q k q > 1. Τότε υπάρχει μοναδική λύση u L 2,Q (W; L 2 ((0, T ); V )) της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης, που είναι απείρως διαφορίσιμη κατά Malliavin.

LÔseic se q rouc Hida-Kondratiev Συνάρτηση βαρών qα 2 = (α!) ρ (2ik) γαk i, ρ, γ R. i,k 1 Σχέση Wiener chaos χώρων και χώρων Hida-Kondratiev L 2,Q (W; X ) S ρ,γ

LÔseic se q rouc Hida-Kondratiev Συνάρτηση βαρών qα 2 = (α!) ρ (2ik) γαk i, ρ, γ R. i,k 1 Σχέση Wiener chaos χώρων και χώρων Hida-Kondratiev L 2,Q (W; X ) S ρ,γ Θεώρημα Εστω u 0 S ρ,γ και f, g k S ρ,γ. Τότε υπάρχει μοναδική λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης που ανήκει στο χώρο Hida-Kondratiev S ρ,γ.

Efarmog sto upìdeigma twn Heath-Jarrow-Morton Στοχαστική διαφορική εξίσωση HJM ( d du(t) = dx u(t) + k Πρόταση ) t σ k (t, x) σ k (s, x)ds dt + 0 k σ k (t, x)dw k (t) (1) Εστω u 0 RL 2 (W; L 2 ((0, T ); H)) και f RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )), όπου f = α J f αξ α, όπου f α = t 0 k (σ k(s, x) t 0 σ k(y, x)dy)dt+ i,k α ( i kσ k,α (i,k)m i )(s, x)ds για κάποιο τελεστή R. Τότε, υπάρχει τελεστής R και μοναδική λύση u = α J u αξ α με u RL 2 (W; L 2 ((0, T ); V )) της (1), όπου η u α ικανοποιεί τον διαδότη (propagator).

BibliografÐa R. Carmona and M. Tehranchi, Interest Rate Models: An Infinite-dimensional Stochastic Analysis Perspective, Springer, 2006. G. Da Prato and J. Zabczyk, Stochastic Equations in Infinite Dimensions, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. D.C. Heath and R.A. Jarrow and A.J. Morton, Bond pricing and the term structure of interest rates a new methodology for contingent claims valuation, Econometrica, vol.60, num.1, p.77 105, 1992. S.V. Lototsky and B.L. Rozovskii, Stochastic Differential Equations Driven by Purely Spatial Noise, math/0505551, 2005. S.V. Lototsky and B.L. Rozovskii, Wiener Chaos Solutions of Linear Stochastic Evolution Equations, Annals of Probability, 34, p.638 662, 2006. D. Nualart, Malliavin calculus and related topics, Springer, New York, 2nd edition, 1997.